相似比と体積比

立体の体積比の知識を使って、立体の体積などを求める問題です。

体積比を用いた方が、簡単に問題を解くことが出来ることもありますので、基本事項をしっかり確認してください。

体積比の基本

相似比が a : b のとき、体積比は (a×a×a) :(b×b×b)となります。

★ 1辺が1cmの立方体と1辺が2cmの立方体では

相似比は 1:2  体積比は (1×1×1):(2×2×2)=1:8

円すいと体積比

次のように円すいを底面に平行な平面で2つに分けたとき、アとイの部分の体積比を考えます。

小さい円すいア と 大きい円すい(ア+イ)の 相似比は  1:3 

 

ア と イ の体積比は  ア : {(ア+イ) ー ア} となるので

(1×1×1):(3×3×3 ー1×1×1)=1:26  

体積比を使って次のような円すい台の体積を求めます。

大きな円すいを作ると

大きな円すいと上の小さな円すいの相似比は 12:6=2:1

大きな円すいと 円すい台の体積比は

(2×2×2):(2×2×2ー1×1×1)=8:7

円すい台の体積は全体の8分の7になる

円すい台の体積は 大きな円すいの体積×8分の7

円すいの高さは上の図より ①=6cm  ②=12cm で12cmになるので

円すい台の体積は

12×12×3.14×12×1/3×7/8=1582.56㎤ となる。

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